泉州高帽子培训学校的性质需要具体核实，但根据现有信息推测：

名称特殊性：

一般情况分析：

公办学校：公办学校通常以“某市/区+学科特色+学校”命名（如泉州第一中学），且多为学历教育机构（小学、中学、职校等）。

培训学校：名称含“培训学校”的多为民办机构，尤其是针对技能、艺术、考试辅导等非学历教育的机构。

建议核实渠道：

教育局官网：访问泉州市教育局或福建省教育厅官网，查询民办学校备案名单。

企业信用系统：通过“国家企业信用信息公示系统”查询该校注册信息，若为“企业”则为民办。

直接联系：拨打学校官方电话或到访校区，询问办学资质及性质。

总结：该机构大概率为民办培训学校，但需通过官方渠道进一步确认名称准确性及备案信息。若涉及报名，建议优先核实资质以保障权益。